أنظمة الأرقام

نظام الأرقام هو مجموعة من القواعد لتمثيل الأرقام باستخدام علامات عددية مختلفة. تصنف أنظمة الأرقام إلى نوعين: غير الموضعي والموضعي.

في أنظمة الأرقام الموضعية ، لا تعتمد قيمة كل رقم على الموضع الذي يشغله ، أي على المكان الذي يشغله في مجموعة الأرقام. في نظام الترقيم الروماني ، هناك سبعة أرقام فقط: واحد (I) ، خمسة (V) ، عشرة (X) ، خمسون (L) ، مائة (C) ، خمسمائة (D) ، ألف (M). باستخدام هذه الأرقام (الرموز) ، تتم كتابة الأرقام المتبقية عن طريق الجمع والطرح. على سبيل المثال ، IV هو تدوين الرقم 4 (V - I) ، VI هو الرقم 6 (V + I) ، وهكذا. الرقم 666 مكتوب في النظام الروماني على النحو التالي: DCLXVI.

هذا الترميز أقل ملاءمة من الذي نستخدمه حاليًا. هنا ستة مكتوبة برمز واحد (VI) ، وست عشرات برمز آخر (LX) ، وستمائة وثالث (DC). من الصعب جدًا إجراء عمليات حسابية بأرقام مكتوبة بنظام الأرقام الرومانية. أيضًا ، من العيوب الشائعة للأنظمة غير الموضعية تعقيد تمثيل أعداد كبيرة بما فيه الكفاية بحيث ينتج عنها تدوين مرهق للغاية.

الآن ضع في اعتبارك نفس الرقم 666 في نظام الأرقام الموضعية. في ذلك ، تعني العلامة المفردة 6 عدد الآحاد إذا كانت في المكان الأخير ، وعدد العشرات إذا كانت في المكان قبل الأخير ، وعدد المئات إذا كانت في المركز الثالث من النهاية. يسمى مبدأ كتابة الأرقام هذا الموضعي (محلي). في مثل هذا التسجيل ، يتلقى كل رقم قيمة عددية لا تعتمد فقط على أسلوبه ، ولكن أيضًا على مكانه عند كتابة الرقم.

في نظام الأرقام الموضعية ، يمكن تمثيل أي رقم يمثل A = + a1a2a3 ... ann-1an كمجموع

حيث n - عدد محدود من الأرقام في صورة رقم ، ii رقم i-go digit ، d - قاعدة نظام الأرقام ، i - الرقم الترتيبي للفئة ، dm-i - "وزن" فئة i-ro . يجب أن تحقق الأرقام ai المتباينة 0 <= a <= (d - 1).

بالنسبة للتدوين العشري ، d = 10 و ai = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9.

نظرًا لأن الأرقام المكونة من الآحاد والأصفار يمكن اعتبارها أرقامًا عشرية أو ثنائية عند استخدامها معًا ، فإن قاعدة نظام الأرقام يشار إليها عادةً ، على سبيل المثال (1100) 2-binary ، (1100) 10-decimal.

في أجهزة الكمبيوتر الرقمية ، تُستخدم الأنظمة غير العشرية على نطاق واسع: ثنائي وثماني وسداسي عشري.

النظام الثنائي

بالنسبة لهذا النظام ، يُسمح بـ d = 2 وهنا يُسمح برقمين فقط ، أي ai = 0 أو 1.

يتم تمثيل أي رقم معبر عنه في النظام الثنائي على أنه مجموع حاصل ضرب قوة الأساس ضعف الرقم الثنائي للبت المعطى. على سبيل المثال ، يمكن كتابة الرقم 101.01 على النحو التالي: 101.01 = 1 × 22 + 0x21 + 1 × 20 + 0x2-1 + 1 × 2-2 ، والذي يتوافق مع الرقم في النظام العشري: 4 + 1 + 0.25 = 5.25.

في معظم أجهزة الكمبيوتر الرقمية الحديثة ، يتم استخدام نظام الأرقام الثنائية لتمثيل الأرقام في الجهاز وإجراء العمليات الحسابية عليها.

يتيح نظام الأرقام الثنائية ، مقارنة بالنظام العشري ، تبسيط دوائر ودوائر الجهاز الحسابي وجهاز الذاكرة وزيادة موثوقية الكمبيوتر. يتم تمثيل رقم كل بت من الرقم الثنائي بحالات "التشغيل / الإيقاف" لعناصر مثل الترانزستورات والثنائيات ، والتي تعمل بشكل موثوق في حالات "التشغيل / الإيقاف". تشمل عيوب النظام الثنائي الحاجة إلى ترجمة البيانات الرقمية الأصلية وفقًا لبرنامج خاص إلى نظام الأرقام الثنائية ونتائج القرار إلى نظام عشري.

نظام الرقم الثماني

يحتوي هذا النظام على قاعدة d == 8. تستخدم الأرقام لتمثيل الأرقام: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7.

يستخدم نظام الرقم الثماني في الكمبيوتر كوسيلة مساعدة في تحضير المشكلات لحلها (في عملية البرمجة) ، وفي التحقق من تشغيل الجهاز ، وفي تصحيح أخطاء البرنامج. يعطي هذا النظام تمثيلاً أقصر للرقم من النظام الثنائي. يسمح لك نظام الأرقام الثماني بالتبديل ببساطة إلى النظام الثنائي.

نظام رقم سداسي عشري

يحتوي هذا النظام على قاعدة d = 16. 16 حرفًا تستخدم لتمثيل الأرقام: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، A ، B ، C ، D ، E ، F ، و الأحرف A ... F تمثل الأرقام العشرية 10 و 11 و 12 و 13 و 14 و 15. سوف يتوافق الرقم السداسي العشري (1D4F) 18 مع العلامة العشرية 7503 لأن (1D4F) 18 = 1 × 163 + 13 × 162 + 14 × 161+ 15 × 16 س = (7503) 10

يسمح التدوين السداسي عشري بكتابة الأرقام الثنائية بشكل مضغوط أكثر من الرقم الثماني. يجد التطبيق في أجهزة الإدخال والإخراج وأجهزة عرض ترتيب الأرقام لبعض أجهزة الكمبيوتر.

نظام الأعداد الثنائية العشرية

تمثيل الأرقام في النظام الثنائي العشري كما يلي. يتم أخذ التدوين العشري للرقم كأساس ، ثم يتم كتابة كل رقم من أرقامه (من 0 إلى 9) في شكل رقم ثنائي مكون من أربعة أرقام يسمى tetrad ، أي أنه لا يتم استخدام علامة واحدة لتمثيل كل رقم في النظام العشري ، لكن أربعة.

على سبيل المثال ، يتطابق الرقم العشري 647.59 مع BCD 0110 0100 0111 ، 0101 1001.

يستخدم نظام الأرقام الثنائية العشرية كنظام رقم وسيط ولترميز أرقام المدخلات والمخرجات.

قواعد تحويل نظام رقم إلى آخر

يتم تبادل المعلومات بين أجهزة الكمبيوتر بشكل أساسي من خلال الأرقام الممثلة في نظام الأرقام الثنائية. ومع ذلك ، يتم تقديم المعلومات إلى المستخدم بأرقام في النظام العشري ، ويتم تقديم عنونة الأوامر في النظام الثماني. ومن هنا تأتي الحاجة إلى نقل الأرقام من نظام إلى آخر في عملية العمل مع الكمبيوتر. للقيام بذلك ، استخدم القاعدة العامة التالية.

لتحويل رقم صحيح من أي نظام رقمي إلى آخر ، من الضروري قسمة هذا الرقم تباعاً على أساس النظام الجديد حتى لا يقل الحاصل عن المقسوم عليه. يجب كتابة الرقم في النظام الجديد في شكل باقي القسمة ، بدءًا من الرقم الأخير ، أي من اليمين إلى اليسار.

على سبيل المثال ، لنحول الرقم العشري 1987 إلى ثنائي:

الرقم العشري 1987 في تنسيق ثنائي هو 11111000011 ، أي (1987) 10 = (11111000011) 2

عند التغيير من أي نظام إلى نظام عشري ، يتم تمثيل الرقم كمجموع قوى الأساس مع المعاملات المقابلة ، ثم يتم حساب قيمة المجموع.

على سبيل المثال ، لنحول الرقم الثماني 123 إلى رقم عشري: (123) 8 = 1 × 82 + 2 × 81 + 3 × 80 = 64 + 16 + 3 = 83 ، أي (123) 8 = (83) 10

لنقل الجزء الكسري لرقم من أي نظام إلى آخر ، من الضروري إجراء الضرب المتتالي لهذا الكسر والأجزاء الكسرية الناتجة من المنتج بناءً على نظام الأرقام الجديد. يتكون الجزء الكسري لرقم في النظام الجديد في شكل أجزاء كاملة من المنتجات الناتجة ، بدءًا من الأول. تستمر عملية الضرب حتى يتم حساب رقم بدقة معينة.

على سبيل المثال ، لنحول الكسر العشري 0.65625 إلى نظام الأعداد الثنائية:

نظرًا لأن الجزء الكسري من المنتج الخامس يتكون فقط من الأصفار ، فلا داعي لمزيد من الضرب. هذا يعني أنه يتم تحويل العلامة العشرية المحددة إلى رقم ثنائي بدون أخطاء ، أي (0.65625) 10 = (0.10101) 2.

التحويل من الثماني والسادس عشري إلى الثنائي والعكس صحيح ليس بالأمر الصعب. هذا لأن قاعدتهم (د - 8 و د - 16) تتوافق مع أعداد صحيحة لاثنين (23 = 8 و 24 = 16).

لتحويل الأرقام الثمانية أو السداسية العشرية إلى رقم ثنائي ، يكفي استبدال كل رقم من أرقامها بعدد ثنائي مكون من ثلاثة أو أربعة أرقام ، على التوالي.

على سبيل المثال ، دعنا نترجم الرقم الثماني (571) 8 والرقم السداسي العشري (179) 16 إلى نظام الأرقام الثنائية.

في كلتا الحالتين نحصل على نفس النتيجة ، أي (571) 8 = (179) 16 = (101111001) 2

لتحويل رقم من ثنائي عشري إلى رقم عشري ، تحتاج إلى استبدال كل رباعي من الرقم الموضح في النظام الثنائي العشري برقم يتم تمثيله في النظام العشري.

على سبيل المثال ، لنكتب الرقم (0010 0001 1000 ، 0110 0001 0110) 2-10 بالتدوين العشري ، أي (0010 0001 1000 ، 0110 0001 0110) 2-10 = (218،625)