قوانين دائرة الاتصال الجبر ، الجبر البولي

يتيح السجل التحليلي للهيكل وظروف التشغيل لدارات الترحيل إجراء تحويلات تحليلية مكافئة للدوائر ، أي عن طريق تحويل الصيغ الهيكلية ، وإيجاد مخططات مماثلة في تشغيلها. تم تطوير طرق التحويل بشكل كامل بشكل خاص للصيغ الهيكلية التي تعبر عن دوائر الاتصال.

بالنسبة لدارات التلامس ، يتم استخدام الجهاز الرياضي لجبر المنطق ، بشكل أكثر دقة ، أحد أبسط أنواعه ، يسمى حساب التفاضل والتكامل أو الجبر المنطقي (بعد عالم الرياضيات في القرن الماضي J. Boole).

تم تطوير حساب التفاضل والتكامل في الأصل لدراسة الاعتماد (حقيقة أو زيف الأحكام المعقدة على حقيقة أو زيف الافتراضات البسيطة التي تتكون منها. يمكن أن يكون لكل وسيطة فردية وكل دالة واحدة من قيمتين.

يحدد هذا إمكانية استخدام الجبر المنطقي لتحويل دوائر التلامس ، نظرًا لأن كل من الوسيطات (جهات الاتصال) المضمنة في الصيغة الهيكلية يمكن أن تأخذ قيمتين فقط ، أي أنه يمكن إغلاقها أو فتحها ، وتمثل الوظيفة بأكملها بواسطة الهيكلية يمكن أن تعبر الصيغة إما عن حلقة مغلقة أو مفتوحة.

يقدم الجبر المنطقي:

1) الكائنات التي ، كما في الجبر العادي ، لها أسماء: متغيرات ووظائف مستقلة - ومع ذلك ، على عكس الجبر العادي ، في الجبر البولي يمكن أن يأخذ كلاهما قيمتين فقط: 0 و 1 ؛

2) العمليات المنطقية الأساسية:

• إضافة منطقية (أو فصل ، منطقي OR ، يُشار إليها بعلامة؟) ، والتي يتم تعريفها على النحو التالي: نتيجة العملية هي 0 إذا وفقط إذا كانت جميع وسائط العملية تساوي 0 ، وإلا تكون النتيجة 1 ؛

• الضرب المنطقي (أو التسلسل ، المنطقي AND ، المشار إليه بـ؟ ، أو غير محدد على الإطلاق) والذي يتم تعريفه على النحو التالي: نتيجة العملية هي 1 إذا وفقط إذا كانت جميع وسيطات العملية مساوية لـ 1 ، وإلا فإن النتيجة هو 0 ؛

• النفي (أو العكس ، المنطقي NOT ، المشار إليه بشريط أعلى الوسيطة) ، والذي يتم تعريفه على النحو التالي: نتيجة العملية لها القيمة المعاكسة للوسيطة ؛

3) البديهيات (قوانين الجبر المنطقي) ، والتي تحدد قواعد تحويل التعبيرات المنطقية.

لاحظ أنه يمكن إجراء كل من العمليات المنطقية على كل من المتغيرات والوظائف ، والتي ستسمى الوظائف المنطقية أدناه ... تذكر أنه ، عن طريق القياس مع الجبر العادي ، في الجبر المنطقي ، يكون لعملية الضرب المنطقي الأسبقية على المنطقي عملية الإضافة.

تتشكل التعبيرات المنطقية من خلال الجمع بين العمليات المنطقية على عدد من الكائنات (المتغيرات أو الوظائف) ، تسمى وسيطات العملية.

عادةً ما يتم إجراء تحويل التعبيرات المنطقية باستخدام قوانين الجبر البولي بهدف التقليل ، لأنه كلما كان التعبير أبسط ، كلما كان تعقيد السلسلة المنطقية أصغر ، وهو التطبيق التقني للتعبير المنطقي.

يتم تقديم قوانين الجبر البولي كمجموعة من البديهيات والنتائج. يمكن التحقق منها بكل بساطة عن طريق استبدال القيم المختلفة للمتغيرات.

التناظرية التقنية لأي تعبير منطقي لوظيفة منطقية هو مخطط منطقي ... في هذه الحالة ، ترتبط المتغيرات التي تعتمد عليها الدالة المنطقية بالمدخلات الخارجية لهذه الدائرة ، وتتشكل قيمة الدالة المنطقية عند الناتج الخارجي للدائرة ، وكل عملية منطقية في تعبير منطقي يتم تنفيذها بواسطة عنصر منطقي.

وبالتالي ، لكل مجموعة من إشارات الإدخال عند خرج الدائرة المنطقية ، يتم إنشاء إشارة تتوافق مع قيمة دالة منطقية لهذه المجموعة من المتغيرات (بعد ذلك ، سنستخدم الاصطلاح التالي: 0 - مستوى إشارة منخفض ، 1 - مستوى عالٍ من الإشارة).

عند إنشاء الدوائر المنطقية ، سنفترض أن المتغيرات يتم تغذيتها إلى المدخلات في رمز الطور (أي ، تتوفر كل من القيم المباشرة والعكسية للمتغيرات).

يوضح الجدول 1 التسميات الرسومية التقليدية لبعض العناصر المنطقية وفقًا لـ GOST 2.743-91 ، بالإضافة إلى نظرائهم الأجانب.

بالإضافة إلى العناصر التي تؤدي العمليات الثلاث للجبر البولي (AND ، OR ، NOT) ، في علامة التبويب. 1 يوضح العناصر التي تؤدي العمليات المشتقة من الرئيسي:

- AND -NOT - نفي الضرب المنطقي ، وتسمى أيضًا حركة Schaefer (يُشار إليها بالرمز |)

- OR -NOT - نفي المكمل المنطقي ، ويسمى أيضًا سهم بيرس (يُرمز إليه؟)

من خلال ربط البوابات المنطقية بالتسلسل معًا ، يمكنك تنفيذ أي وظيفة منطقية.

لا يمكن اعتبار الصيغ الهيكلية التي تعبر عن دوائر الترحيل بشكل عام ، أي التي تحتوي على رموز النسور المتفاعلة ، على أنها وظائف لقيمتين تعبران فقط عن دائرة مغلقة أو مفتوحة. لذلك ، عند العمل مع مثل هذه الوظائف ، يظهر عدد من التبعيات الجديدة التي تتجاوز حدود الجبر البولي.

في الجبر المنطقي ، هناك أربعة أزواج من القوانين الأساسية: إزاحتان ، واثنتان اندماجيتان ، واثنتان توزعيتان ، واثنان من الانقلاب القانوني. تؤسس هذه القوانين تكافؤ التعبيرات المختلفة ، أي أنها تعتبر التعبيرات التي يمكن استبدالها ببعضها البعض مثل استبدال الهويات في الجبر العادي. كرمز معادل نأخذ الرمز الذي هو نفس رمز المساواة في الجبر العادي (=).

سيتم تحديد صلاحية قوانين الجبر المنطقي لدارات التلامس من خلال النظر في الدوائر المقابلة للجانبين الأيسر والأيمن من التعبيرات المكافئة.

قوانين السفر

للإضافة: x + y = y + x

يتم عرض المخططات المقابلة لهذه التعبيرات في الشكل. 1 ، أ.

الدوائر اليمنى واليسرى عبارة عن دوائر مفتوحة عادةً ، يتم إغلاق كل منها عند تشغيل أحد العناصر (X أو Y) ، أي أن هذه الدوائر متكافئة. للضرب: x · y = y · NS.

يتم عرض المخططات المقابلة لهذه التعبيرات في الشكل. 1 ب ، تكافؤهم واضح أيضًا.

أرز. 1

قوانين الجمع

للإضافة: (x + y) + z = x + (y + z)

للضرب: (x · y) · z = x · (y · z)

أزواج الدوائر المكافئة المقابلة لهذه التعبيرات موضحة في الشكل. 2 ، أ ، ب

أرز. 2

قوانين التوزيع

الضرب مقابل الجمع: (x + y) + z = x + (y + z)

الجمع مقابل الضرب. س · ص + ع = (س + ع) · (ص + ع)

يتم عرض المخططات المقابلة لهذه التعبيرات في الشكل. 3 ، أ ، ب.

أرز. 3.

يمكن التحقق من تكافؤ هذه المخططات بسهولة من خلال النظر في مجموعات مختلفة من تشغيل الاتصال.

قوانين الانقلاب

بالإضافة إلى ذلك: NS + c = NS · c

الشريط الموجود أعلى الجانب الأيسر من التعبير هو علامة نفي أو انعكاس. تشير هذه العلامة إلى أن الوظيفة بأكملها لها معنى معاكس فيما يتعلق بالتعبير الموجود أسفل علامة النفي. لا يمكن رسم مخطط يتوافق مع الدالة العكسية بأكملها ، لكن يمكن للمرء أن يرسم مخططًا يقابل التعبير الموجود أسفل الإشارة السالبة. وبالتالي ، يمكن توضيح الصيغة بالمخططات الموضحة في الشكل. 4 ا.

أرز. 4.

الرسم البياني الأيسر يتوافق مع التعبير x + y ، والمخطط الأيمن يتوافق مع التعبير NS · c

هاتان الدائرتان معاكستان لبعضهما البعض في التشغيل ، أي: إذا كانت الدائرة اليسرى مع عناصر غير مستثارة X ، Y هي دائرة مفتوحة ، فإن الدائرة اليمنى مغلقة. إذا كان في الدائرة اليسرى ، عند تشغيل أحد العناصر ، يتم إغلاق الدائرة ، وفي الدائرة اليمنى ، على العكس من ذلك ، يتم فتحها.

نظرًا لتعريف الإشارة السالبة ، فإن الدالة x + y هي معكوس الدالة x + y ، فمن الواضح أن x + y = NS · in.

بخصوص الضرب: NS · c = NS + c

يتم عرض المخططات المقابلة في الشكل. 4 ، ب.

الترجمة والتوليف والقوانين وقانون التوزيع الخاص بالضرب فيما يتعلق بالإضافة (تتوافق مع قوانين مماثلة للجبر العادي).لذلك ، في حالة تحويل الصيغ الهيكلية بترتيب إضافة المصطلحات وضربها ، ووضع المصطلحات خارج الأقواس وتوسيع الأقواس ، يمكنك اتباع القواعد الموضوعة للعمل مع التعبيرات الجبرية العادية. قانون التوزيع الخاص بالجمع فيما يتعلق بالضرب وقوانين الانعكاس خاصة بالجبر البولي.