أصول وقوانين جبر المنطق
عالم رياضيات أيرلندي من منتصف القرن التاسع عشر جورج بول طور جبر المنطق ("دراسة قوانين التفكير"). ومن هنا يسمى جبر المنطق أيضًا الجبر البوليني.
من خلال إعطاء تسميات الحروف ، والتعبير عن عمليات التحولات المنطقية في رموز الإجراء ، واستخدام القواعد والبديهيات الموضوعة لهذه الإجراءات ، يسمح الجبر المنطقي لعملية التفكير في حل مشكلة معينة من حيث منطق البيان ليتم وصفها بالكامل في الخوارزميات ، أي أن يكون لديك برنامج مكتوب رياضيًا لحل هذه المشكلة.
للدلالة على حقيقة أو زيف العبارات (أي لإدخال قيم لتقييم العبارات) ، يستخدم جبر المنطق نظامًا ثنائيًا مناسبًا في هذه الحالة. إذا كانت العبارة صحيحة ، فإنها تأخذ القيمة 1 ، وإذا كانت خاطئة ، فإنها تأخذ القيمة 0. على عكس الأرقام الثنائية ، لا تعبر الآحاد والأصفار المنطقية عن كمية ، بل حالة.
لذلك ، في الدوائر الكهربائية الموصوفة باستخدام الجبر المنطقي ، حيث 1 هو وجود الجهد و 0 هو غيابه ، فإن إمداد الفولتية من عدة مصادر إلى عقدة واحدة من الدائرة (أي وصول عدة وحدات منطقية منها) هو يظهر أيضًا كوحدة منطقية لا تشير إلى إجمالي الجهد في العقدة ، بل تشير فقط إلى وجودها.
عند وصف إشارات الإدخال والإخراج للدوائر المنطقية ، يتم استخدام المتغيرات التي تأخذ القيم المنطقية فقط 0 أو 1. يتم تحديد اعتماد إشارات الخرج على المدخلات عملية منطقية (وظيفة)... دعونا نشير إلى متغيرات الإدخال بواسطة X1 و X2 ، والإخراج الذي تم الحصول عليه من خلال عملية منطقية عليها بواسطة y.
فكر مليا ثلاث عمليات منطقية أولية أساسية، والتي يمكن من خلالها وصف العناصر المعقدة بشكل متزايد.
1. أو العملية - إضافة منطقية:
بالنظر إلى جميع القيم المحتملة للمتغيرات ، يمكن للمرء تحديد عملية OR على أنها كافية لوحدة واحدة على الأقل في الإدخال لإنتاج واحدة في المخرجات. يتم شرح اسم العملية بالمعنى الدلالي للوحدة OR في العبارة: "إذا كان OR هو أحد المدخلات أو الثاني هو واحد ، فإن الناتج يكون واحدًا."
2. العملية AND - الضرب المنطقي:
من خلال النظر في المجموعة الكاملة لقيم المتغيرات ، يتم تعريف العملية AND على أنها الحاجة إلى مطابقة جميع العناصر الموجودة في المدخلات للحصول على واحد على المخرجات: "إذا كان AND هو أحد المدخلات والثاني هو واحد ، إذن الناتج واحد. «
3. العملية NOT - النفي المنطقي أو الانقلاب. يشار إليه بشريط أعلى المتغير.
عند عكسها ، يتم عكس قيمة المتغير.
القوانين الأساسية للجبر المنطقي:
1. قانون المجموعة الصفرية: يختفي ناتج أي عدد من المتغيرات إذا كان أي من المتغيرات صفرًا ، بغض النظر عن قيم المتغيرات الأخرى:
2. قانون المجموعة الكونية - يصبح مجموع أي عدد من المتغيرات واحدًا إذا كان أحد المتغيرات على الأقل له القيمة واحد ، بغض النظر عن المتغيرات الأخرى:
3. قانون التكرار - يمكن حذف المتغيرات المتكررة في التعبير (بمعنى آخر ، لا يوجد أس وضرب بمعامل عددي في الجبر البولي):
4. قانون الانقلاب المزدوج - الانقلاب مرتين هو عملية فارغة:
5. قانون التكامل - حاصل ضرب كل متغير وعكسه صفر:
6. مجموع كل متغير ومقلوبه واحد:
7. قوانين الحماية - لا تعتمد نتيجة إجراء عمليات الضرب والجمع على الترتيب الذي تتبعه المتغيرات:
8. القوانين المجمعة - أثناء عمليات الضرب والجمع ، يمكن تجميع المتغيرات بأي ترتيب:
9. قوانين التوزيع - يُسمح بوضع المعامل الكلي خارج الأقواس:
10. قوانين الاستيعاب - توضيح طرق تبسيط التعبيرات التي تتضمن متغيرًا في جميع العوامل والمصطلحات:
11. قوانين دي مورغان - انعكاس المنتج هو مجموع انعكاسات المتغيرات:
انعكاس المجموع هو نتاج انقلاب المتغيرات:
