لماذا تستخدم الأعداد المركبة للحسابات في دارات التيار المتناوب

كما تعلم ، تُستخدم الأعداد المركبة لحل بعض المشكلات النموذجية في الهندسة الكهربائية. ولكن ما الذي يستخدمونه ولماذا يتم ذلك بهذه الطريقة؟ هذا ما سنحاول فهمه في سياق هذه المقالة. الحقيقة هي أن الطريقة المعقدة أو طريقة السعات المعقدة ملائمة لحساب دوائر التيار المتردد المعقدة. ولنبدأ بذكر بعض أساسيات الرياضيات:

كما ترى ، يتضمن العدد المركب z الجزء التخيلي والجزء الحقيقي ، اللذين يختلفان عن بعضهما البعض ويشار إليهما بشكل مختلف في النص. يمكن كتابة العدد المركب z نفسه بصيغة جبرية أو مثلثية أو أسية:

خلفية تاريخية

يُعتقد أن فكرة الأرقام الخيالية بدأت في عام 1545 ، عندما نشر عالم الرياضيات الإيطالي والمهندس والفيلسوف والطبيب والمنجم جيرولامو كاردانو طريقة حل المعادلات في أطروحته "الفن العظيم" ، حيث نشر ، وفقًا لما ذكره ، ، اعترف بأن نيكولو قد أعطاه الفكرة إلى Tartaglia (عالم رياضيات إيطالي) قبل 6 سنوات من نشر هذا العمل. في عمله ، يحل كرادانو معادلات النموذج:

في عملية حل هذه المعادلات ، أُجبر العالم على الاعتراف بوجود عدد "غير حقيقي" ، سيكون مربعه مساويًا لسالب واحد "-1" ، أي كما لو كان هناك جذرًا تربيعيًا لـ الرقم السالب ، وإذا كان الآن مربعًا ، فسيكون هو الرقم السالب المقابل تحت الجذر. ذكر كاردانو قاعدة الضرب ، والتي بموجبها:

لمدة ثلاثة قرون ، كان المجتمع الرياضي في طور التعود على النهج الجديد الذي اقترحه كاردانو. تتجذر الأرقام الخيالية تدريجياً ، لكن علماء الرياضيات يترددون في قبولها. لم يكن الأمر كذلك حتى نشر أعمال غاوس في الجبر ، حيث أثبت النظرية الأساسية للجبر ، أن الأعداد المركبة تم قبولها أخيرًا ، وكان القرن التاسع عشر في متناول اليد.

أصبحت الأرقام الخيالية منقذًا حقيقيًا لعلماء الرياضيات لأن أكثر المشكلات تعقيدًا أصبح حلها أسهل بكثير من خلال قبول وجود أرقام خيالية.

لذلك سرعان ما جاء إلى الهندسة الكهربائية. كانت دارات التيار المتناوب في بعض الأحيان معقدة للغاية وكان لابد من حساب العديد من التكاملات لحسابها ، وهو ما كان غالبًا غير مريح للغاية.

أخيرًا ، في عام 1893 ، تحدث المهندس الكهربائي اللامع كارل أوجوست ستاينميتز في شيكاغو في المؤتمر الكهرتقني الدولي بتقرير بعنوان "الأرقام المركبة وتطبيقاتها في الهندسة الكهربائية" ، والذي يمثل في الواقع بداية التطبيق العملي من قبل المهندسين للطريقة المعقدة لـ حساب الدوائر الكهربائية لتيار التيار المتردد.

نحن نعرف هذا من مقرر الفيزياء التيار المتناوب - هذا تيار يتغير بمرور الوقت في كل من الحجم والاتجاه.

في التكنولوجيا ، توجد أشكال مختلفة من التيار المتردد ، ولكن الأكثر شيوعًا اليوم هو التيار الجيبي المتناوب ، وهذا ما يستخدم في كل مكان ، بمساعدة يتم نقل الكهرباء ، في شكل تيار متناوب ، يتم توليده ، وتحويله بواسطة المحولات وتستهلكها الأحمال. يتغير التيار الجيبي بشكل دوري وفقًا لقانون الجيب (التوافقي).

القيم الفعالة للتيار والجهد أقل من قيم اتساع جذر مرتين:

في الطريقة المعقدة ، تتم كتابة القيم الفعالة للتيارات والجهد على النحو التالي:

لاحظ أنه في الهندسة الكهربائية ، يُشار إلى الوحدة التخيلية بالحرف «j» ، لأن الحرف «i» مستخدم بالفعل هنا للإشارة إلى التيار.

من قانون أوم يحدد القيمة المعقدة للمقاومة:

يتم جمع وطرح القيم المعقدة في شكل جبري ، والضرب والقسمة في شكل أسي.

دعنا نفكر في طريقة السعات المعقدة باستخدام مثال دائرة معينة بقيم معينة من المعلمات الرئيسية.

مثال على حل مشكلة باستخدام الأعداد المركبة

منح:

• لفائف الجهد 50 فولت ،

• مقاومة المقاوم 25 أوم ،

• ملف الحث 500 مللي أمبير ،

• السعة الكهربائية للمكثف 30 ميكروفاراد ،

• مقاومة لفائف 10 أوم ،

• تردد التيار 50 هرتز.

البحث عن: قراءات مقياس التيار الكهربائي والفولتميتر وكذلك مقياس الواط.

إجابة:

بادئ ذي بدء ، نكتب المقاومة المعقدة للعناصر المتصلة بالسلسلة ، والتي تتكون من أجزاء حقيقية وخيالية ، ثم نجد المقاومة المعقدة لعنصر حثي نشط.

تذكر! للحصول على الصيغة الأسية ، أوجد المقياس z يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي الجزأين الحقيقي والتخيلي ، و phi يساوي قوس ظل قسمة الجزء التخيلي مقسومًا على الجزء الحقيقي.

ثم نجد التيار ، وبالتالي ، قراءات مقياس التيار الكهربائي:

لذا يُظهر مقياس التيار تيارًا قدره 0.317 A - وهو التيار خلال دائرة السلسلة بأكملها.

سنجد الآن المقاومة السعوية للمكثف ، ثم نحدد مقاومته المعقدة:

ثم نحسب المعاوقة الإجمالية المعقدة لهذه الدائرة:

الآن نجد الجهد الفعال المطبق على الدائرة:

سيُظهر الفولتميتر جهدًا فعالًا يبلغ 19.5 فولت.

أخيرًا ، نجد القوة التي سيعرضها مقياس الواط ، مع مراعاة اختلاف الطور بين التيار والجهد

سيظهر الواطميتر 3.51 واط.

أنت الآن تفهم مدى أهمية الأعداد المركبة في الهندسة الكهربائية. يتم استخدامها لحساب مناسب للدوائر الكهربائية. تعمل العديد من أجهزة القياس الإلكترونية على نفس الأساس.